martes, 17 de noviembre de 2015

DINÁMICA

La dinámica es la rama de la física que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación con las causas que provocan los cambios de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema de operación.

El estudio de la dinámica es prominente en los sistemas mecánicos (clásicos, relativistas o cuánticos), pero también en la termodinámica y electrodinámica.

La Fuerza

La fuerza es una magnitud física de carácter vectorial capaz de deformar los cuerpos (efecto estático), modificar su velocidad o vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban inmóviles (efecto dinámico). En este sentido la fuerza puede definirse como toda acción o influencia capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo (imprimiéndole una aceleración que modifica el módulo o la dirección de su velocidad) o bien de deformarlo.

jueves, 4 de junio de 2015

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE M.A.S. APLICACIONES: PENDULO SIMPLE Y RESORTE UNIDO A UNA MASA QUE OSCILA

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

El movimiento armónico simple (m.a.s.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple(m.v.a.s.), es un movimiento periódico, y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición. Y que queda descrito en función deltiempo por una función senoidal (seno o coseno).

El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.

Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo.El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.

Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.

Respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que

F_{x} = - kx\,

donde

k\,

es una constante positiva y

x\,

es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,$

$v = \frac{dx}{dt} = -\omega A \sin(\omega t + \phi)$

La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de espera.

(6) $a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = -\omega^2 A \, \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)\,$

Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:

(14) $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

AMPLITUD Y FASE INICIAL
La amplitud

A

y la fase inicial

\phi\,

se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimiento, esto es de los valores de la elongación

x_{0}

y de la velocidad

v_{0}

iniciales.

(7) $x_{0} = A \cos\phi \qquad\Rightarrow\qquad x_{0}^2 = A^{2} \cos^{2} \phi$

(8) $v_{0} = -\omega A \sin\phi \qquad\Rightarrow\qquad v_{0}^{2} = \omega^{2} A^{2} \sin^{2}\phi \qquad\Rightarrow\qquad \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} = A^{2}\sin^{2} \phi$

Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(9) $x_{0}^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} = A^{2} (\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi) = A^{2} \qquad\Rightarrow\qquad A = \sqrt{x_{0}^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}}$

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(10) $\frac{v_0}{x_0}= \frac{-\omega A\sin\phi}{A\cos\phi}=\omega\tan\phi \qquad \Rightarrow \qquad\phi =\arctan\left(\frac{-v_0}{\omega x_0}\right)$

Péndulo simple

El péndulo simple (también llamado péndulo matemático o péndulo ideal) es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.

El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei observó que el periodo de oscilación es independiente de la amplitud, al menos para pequeñas oscilaciones. En cambio, aquel depende de la longitud del hilo. El período de la oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por:

$T \approx 2 \pi \sqrt{\ell\over g}$

EJERCICIO RESUELTO DE PÉNDULO SIMPLE
1°
¿Cuál es la frecuencia de oscilación de un péndulo de 1 m de longitud en Marte, si el peso de los cuerpos en Marte es el 40 % de su peso en la Tierra? (g en la Tierra = 9,8 m/s²)

La frecuencia de oscilación de un péndulo en Marte es:

Como

, por tanto,

2°

Un saco de arena de un gimnasio tiene una masa de 600 g, al golpearlo oscila con una frecuencia de 3 Hz y una amplitud de 25 cm. ¿Cuál es la energía cinética máxima del saco?¿ Y su energía cinética cuando se encuentra a 10 cm de su posición de equilibrio?

La energía cinética de un oscilador en función de la posición es :

Calcula la pulsación, ω = 2 π · f = 2 π · 3 = 6 π rad/s

La energía cinética máxima E_cmáx será:

La energía cinética en x=10 cm :

3°

Un cuerpo de 0,4 kg de masa unido a un resorte experimenta un m.a.s. con un período de 0,75 s y una amplitud de 10 cm. ¿Cuál es la constante elástica del resorte?¿Qué energía cinética posee el cuerpo a 6 cm de la posición de equilibrio?¿Cuáles son la velocidad y la aceleración máximas?

Calcula en primer lugar la pulsación, ω = 2π/T = 2π/0,75 = 8,4 rad/s

La constante elástica k = m·ω² = 0,4·8,4² = 28,2 N/m

La energía cinética,

La velocidad máxima, v_máx = ω·A = 8,4·0,1 = 0,84 m/s

La aceleración máxima, a_máx = ω²·A = 8,4²·0,1 = 7,06 m/s²

^4°

El corazón de un atleta late 60 veces en 20 s cuando está en pleno esfuerzo. Cuando descansa lo hace 36 veces en 30 s. ¿Cuáles son el período y la frecuencia del latido cardiaco durante el esfuerzo y en el descanso?

Durante el esfuerzo: T = 20/60 = 0,33 s ; f = 1/T = 3 s^-1 = 3 Hz

Durante el descanso: T = 30/36 = 0,83 s ; f = 1/T = 1,2 s^-1 = 1,2 Hz

5°

Un cuerpo tiene un movimiento vibratorio armónico simple con un período de 2 s. ¿Cuál es la frecuencia del m.a.s.?¿Y la pulsación?

Como la frecuencia es:

Y la pulsación:

6°

La elongación de un cuerpo que describe un movimiento armónico simple está dada por la ecuación:

en el S.I. de unidades

¿Cuál es la amplitud, la pulsación, la frecuencia, el período y la fase inicial del movimiento?

Identificando con la ecuación :

obtienes que: A = 0,2 m ; ω = 4 π rad/s ; φ_o = π/2 rad

; y el período

7°

Un cuerpo tiene un movimiento armónico simple de 30 cm de amplitud y frecuencia 5 Hz. Si en el instante en que empezamos a contar el tiempo su elongación es la mitad de la amplitud, ¿cuál es la ecuación de la posición del cuerpo?

La ecuación de la posición en un m.a.s. es:

Debes sustituir la amplitud A = 30 cm = 0,3 m y la pulsación ω = 2 π f = 2 π 5 = 10 π rad/s, con lo que te queda:

Para calcular φ_o: Como para t = 0, x = A/2 = 0,15 m, sustituyes en la ecuación anterior y te queda:

0,15 = 0,3 sin φ_o y sin φ_o = 0,5, por lo que φ_o= 30º = π/6 rad. La ecuación es:

8°

Animación 7. Elaboración propia

Una partícula describe un m.a.s. de amplitud 5 cm. Cuando se encuentra a 3 cm de la posición de equilibrio su velocidad es de 0,16·

m/s. ¿Cuál es el período del movimiento de la partícula?¿Cuál es su velocidad al pasar por la posición de equilibrio?

La ecuación de la velocidad en función de la posición:

te permite calcular la pulsación:

y el período del movimiento:

Al pasar por la posición de equilibrio (x=0) la velocidad será:

El signo dependerá del sentido del movimiento.

CURIOSIDAD

Biela - manivela

Animación 5. UtzOnBike
Creative commons

En ingeniería mecánica se utiliza el mecanismo de biela - manivela que transforma el movimiento alternativo de traslación de un pistón en un movimiento circular (o viceversa).

Si el movimiento circular se realiza con velocidad angular uniforme, el movimiento de vaivén lineal es aproximadamente vibratorio armónico. Ver animación

Este mecanismo se utiliza en los motores de combustión interna (automóviles). En ellos el movimiento lineal del pistón, producido por la expansión de los gases de la combustión de la gasolina, se transmite a la biela y se convierte en movimiento circular en la manivela (cigüeñal).

miércoles, 3 de junio de 2015

Aceleración Constante

La aceleración se define como la variación de la velocidad en la unidad de tiempo y representa, por tanto, el ritmo de variación de la velocidad con el tiempo.

Una de las características que definen la potencia de un automóvil es su capacidad para ganar velocidad. Por tal motivo, los fabricantes suelen informar de ello al comprador, indicando qué tiempo (en segundos) tarda el modelo en cuestión en alcanzar los 100 km/h partiendo del reposo. Ese tiempo, que no es propiamente una aceleración, está directamente relacionado con ella, puesto que cuanto mayor sea la rapidez con la que el coche gana velocidad, menor será el tiempo que emplea en pasar de 0 a 100 km/h. Un modelo que emplee 5,4 s en conseguir los 100 km/h habrá desarrollado una aceleración que puede calcularse del siguiente modo:

En física, todo movimiento uniformemente acelerado (MUA) es aquel movimiento en el que la aceleración que experimenta un cuerpo permanece constante (en magnitud y dirección) en el transcurso del tiempo.

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, en el que la trayectoria es rectilínea, que se presenta cuando la aceleración y la velocidad inicial tienen la misma dirección.
El movimiento parabólico, en el que la trayectoria descrita es una parábola, que se presenta cuando la aceleración y la velocidad inicial no tienen la misma dirección.

En el movimiento circular uniforme, la aceleración tan solo es constante en módulo, pero no lo es en dirección, por ser cada instante perpendicular a la velocidad, estando dirigida hacia el centro de la trayectoria circular (aceleración centrípeta).Por ello, no puede considerársele un movimiento uniformemente acelerado, a menos que nos refiramos a su aceleración angular.

Movimiento circular uniforme

En física, el movimiento circular uniforme (también denominado movimiento uniformemente circular) describe el movimiento de un cuerpo atravesando con una velocidadconstante una trayectoria circular.

Aunque la rapidez del objeto es constante, su velocidad no lo es: La velocidad, una magnitud vectorial, tangente a la trayectoria, en cada instante cambia de dirección. Esta circunstancia implica la existencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.

Características del Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.)

Algunas de las prinicipales características del movimiento circular uniforme (m.c.u.) son las siguientes:

La velocidad angular es constante (ω = cte)
El vector velocidad es tangente en cada punto a la trayectoria y su sentido es el del movimiento. Esto implica que el movimiento cuenta con aceleración normal
Tanto la aceleración angular (α) como la aceleración tangencial (at) son nulas, ya que que la rapidez o celeridad (módulo del vector velocidad) es constante
Existe un periodo (T), que es el tiempo que el cuerpo emplea en dar una vuelta completa. Esto implica que las características del movimiento son las mismas cada T segundos. La expresión para el cálculo del periodo es T=2π/ω y es sólo válida en el caso de los movimientos circulares uniformes (m.c.u.)
Existe una frecuencia (f), que es el número de vueltas que da el cuerpo en un segundo. Su valor es el inverso del periodo

Experimenta y Aprende

-5

-10

-15

-20

-25

-5

-10

cuerpo

∣∣v⃗ ∣∣ = 3.00

v⃗

a⃗ n

Datos
α = 0 rad/s2
|a⃗t|= 0 m/s2
R = 5 m
ω=|v⃗|/R=0.60 rad/sg
an=v2/R=1.80 m/sg2

Movimiento circular uniforme (m.c.u.)

En la gráfica aparece un cuerpo realizando un movimiento circular uniforme.

Arrastra el valor de la rapidez (módulo del vector velocidad) para observar como el cuerpo se mueve más deprisa o más despacio.

Observa las distintas magnitudes cinemáticas. Comprueba además, que el vector velocidad, en verde, es tangente en cada punto a la trayectoria y por otro lado, la aceleración normal, en rojo, es la responsable de que cambie la dirección de la velocidad. Su dirección apunta siempre hacia el centro del radio de giro y su valor (módulo) depende de la rapidez que tenga el cuerpo.

Ejemplos de M.C.U. resueltos del cajón de ciencias:

1) Un tocadiscos gira a 90rpm. Halla su velocidad angular en radianes por segundo y calcula su

periodo y frecuencia.

Para pasar de revoluciones por minuto a radianes por segundo, solo tenemos que recordar que una

vuelta entera (360º, una revolución) equivale a 2π radianes (o que media vuelta, 180º, son π

radianes). Con eso ya podemos hacer regla de tres:

1 vuelta → 2π radianes

90 vueltas → x radianes x = 180 π radianes

180 π radianes → 60 segundos

1 segundo → x segundos x = 3 π radianes/segundo

Ya tenemos la velocidad angular (ω). El periodo (T) se saca mediante la fórmula:

ω = 2π / T

T = 2π /3π = 2/3 s

La frecuencia (f) es la inversa del periodo:

f = 1/T

f = 3/2 s-1

2) Una rueda de bicicleta de 80cm de radio gira a 200 revoluciones por minuto. Calcula: a) su

velocidad angular b) su velocidad lineal en la llanta c) su periodo d) su frecuencia.

El apartado a) se resuelve igual que el ejercicio anterior:

1 vuelta → 2π radianes

200 vueltas → x radianes x = 400π radianes

400π radianes → 60 segundos

1 segundo → x radianes x = 20π/3 radianes/segundo

b) Para sacar la velocidad lineal a partir de la angular, solo tenemos que multiplicar por el radio (en

metros). Esto vale para calcular cualquier magnitud lineal a partir de la angular.

v = ω·R

v = 20π/3·0,8 = 16,76 m/s

c) Ya vimos en el ejercicio anterior cómo calcular el periodo a partir de la velocidad angular:

ω = 2π / T

T = 2π /(20π/3) = 3/10 s

www.cajondeciencias.com

3) Un tiovivo gira a 30 revoluciones por minuto. Calcula la velocidad angular y la velocidad lineal

de un caballito que esté a 1,5 metros del centro y de otro que esté a 2 metros. Calcula la

aceleración normal para este último.

La velocidad angular es la misma para los dos caballitos, sin importar lo lejos que estén del centro.

Si no fuera así, algunos caballitos adelantarían a otros dentro del tiovivo. Si la calculas del mismo

modo que en ejercicios anteriores, verás que el resultado es de π radianes/segundo.

Pero la velocidad lineal no es la misma para los dos, porque el caballito que esté más hacia fuera

debe recorrer un círculo mayor en el mismo tiempo. Para calcular las velocidades lineales,

multiplicamos las angulares por los respectivos radios:

caballito 1: v = π · 1,5 = 4,71 m/s

caballito 2: v = π · 2 = 6,28 m/s

Aunque sea un MCU, existe una aceleración, llamada "normal" que es la responsable de que el

objeto se mueva en círculos en vez de en línea recta. Esta aceleración es igual a la velocidad lineal

al cuadrado dividida entre el radio:

an = v2/R = 6,282/2 = 19,74 m/s2

4) Un MCU tiene una frecuencia de 60 herzios. Calcula:

a) su velocidad angular

b) su periodo

c) su velocidad angular en revoluciones por minuto.

En primer lugar, medir la frecuencia en herzios es lo mismo que medirla en segundos-1, así que no

pienses que eso cambia nada. A partir de la frecuencia, podemos sacar directamente el periodo, y

luego la velocidad angular (respondemos primero al apartado b y luego al a)

T = 1/f = 1/60 s

ω = 2π / T = 2π / (1/60) = 120π rad/s

Para resolver el c, como una revolución son 2π radianes, dividimos entre 2π para ver el número de

vueltas por segundo. Después multiplicamos por 60 para ver el número de vueltas (revoluciones)

por minuto:

120π rad/s : 2π = 60 rps = 3600 vueltas por minuto