jueves, 4 de junio de 2015

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE M.A.S. APLICACIONES: PENDULO SIMPLE Y RESORTE UNIDO A UNA MASA QUE OSCILA






MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
El movimiento armónico simple (m.a.s.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple(m.v.a.s.), es un movimiento periódico, y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición. Y que queda descrito en función deltiempo por una función senoidal (seno o coseno).
El movimiento armónico simple es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo.
Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando arriba y abajo.El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.


Es también, el movimiento que realiza cada uno de los puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración; pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de la cuerda.
Respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que F_{x} = - kx\, donde k\, es una constante positiva y x\, es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en dirección contraria a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).
x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\,
v = \frac{dx}{dt} = -\omega A \sin(\omega t + \phi)

La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de espera.
(6) a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = -\omega^2 A \, \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t)\,
 Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:
(14) T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}
AMPLITUD Y FASE INICIAL
 La amplitud A y la fase inicial \phi\, se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimiento, esto es de los valores de la elongación x_{0} y de la velocidad v_{0} iniciales.
(7) x_{0} = A \cos\phi \qquad\Rightarrow\qquad x_{0}^2 = A^{2} \cos^{2} \phi
(8) v_{0} = -\omega A \sin\phi \qquad\Rightarrow\qquad v_{0}^{2} = \omega^{2} A^{2} \sin^{2}\phi \qquad\Rightarrow\qquad \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} = A^{2}\sin^{2} \phi
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos
(9) x_{0}^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}} = A^{2} (\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi) = A^{2} \qquad\Rightarrow\qquad A = \sqrt{x_{0}^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{\omega^{2}}}
Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos
(10) \frac{v_0}{x_0}= \frac{-\omega A\sin\phi}{A\cos\phi}=\omega\tan\phi \qquad \Rightarrow \qquad\phi =\arctan\left(\frac{-v_0}{\omega x_0}\right)

Péndulo simple

El péndulo simple (también llamado péndulo matemático o péndulo ideal) es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.

 El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei observó que el periodo de oscilación es independiente de la amplitud, al menos para pequeñas oscilaciones. En cambio, aquel depende de la longitud del hilo. El período de la oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por:

T \approx 2 \pi \sqrt{\ell\over g}

































EJERCICIO RESUELTO DE PÉNDULO SIMPLE
1°
¿Cuál es la frecuencia de oscilación de un péndulo de 1 m de longitud en Marte, si el peso de los cuerpos en Marte es el 40 % de su peso en la Tierra? (g en la Tierra = 9,8 m/s2)
La frecuencia de oscilación de un péndulo en Marte es:
Como ,  y , por tanto, 
2°
Un saco de arena de un gimnasio tiene una masa de 600 g, al golpearlo oscila con una frecuencia de 3 Hz y una amplitud de 25 cm. ¿Cuál es la energía cinética máxima del saco?¿ Y su energía cinética cuando se encuentra a 10 cm de su posición de equilibrio?
La energía cinética de un oscilador en función de la posición es :
Calcula la pulsación, ω  = 2 π · f = 2 π · 3 = 6 π rad/s
La energía cinética máxima Ecmáx será:  
La energía cinética en x=10 cm :   
3°
Un cuerpo de 0,4 kg de masa unido a un resorte experimenta un m.a.s. con un período de 0,75 s y una amplitud de 10 cm. ¿Cuál es la constante elástica del resorte?¿Qué energía cinética posee el cuerpo a 6 cm de la posición de equilibrio?¿Cuáles son la velocidad y la aceleración máximas?
Calcula  en primer lugar la pulsación, ω = 2π/T = 2π/0,75 = 8,4 rad/s
La constante elástica k = m·ω2 = 0,4·8,42 = 28,2 N/m
La energía cinética, 
La velocidad máxima, vmáx = ω·A = 8,4·0,1 = 0,84 m/s
La aceleración máxima, amáx = ω2·A = 8,42·0,1 = 7,06 m/s2
4°
El corazón de un atleta late 60 veces en 20 s cuando está en pleno esfuerzo. Cuando descansa lo hace 36 veces en 30 s. ¿Cuáles son el período y la frecuencia del latido cardiaco durante el esfuerzo y en el descanso?
Durante el esfuerzo: T = 20/60 = 0,33 s ; f = 1/T = 3 s-1 = 3 Hz
Durante el descanso: T = 30/36 = 0,83 s ; f = 1/T = 1,2 s-1 = 1,2 Hz
5°
Un cuerpo tiene un movimiento vibratorio armónico simple con un período de 2 s. ¿Cuál es la frecuencia del m.a.s.?¿Y la pulsación?
Como la frecuencia es: 
Y la pulsación: 

6°
La elongación de un cuerpo que describe un movimiento armónico simple está dada por la ecuación:
 en el S.I. de unidades
¿Cuál es la amplitud, la pulsación, la frecuencia, el período y la fase inicial del movimiento?
Identificando con la ecuación :  obtienes que: A = 0,2 m ; ω = 4 π rad/s ; φo = π/2 rad
  ;  y el período  
7°
Un cuerpo tiene un movimiento armónico simple de 30 cm de amplitud y frecuencia 5 Hz. Si en el instante en que empezamos a contar el tiempo su elongación es la mitad de la amplitud, ¿cuál es la ecuación de la posición del cuerpo?
La ecuación de la posición en un m.a.s. es: .
Debes sustituir la amplitud A = 30 cm = 0,3 m y la pulsación ω = 2 π f = 2 π 5 = 10 π rad/s, con lo que te queda: 
Para calcular φo: Como para t = 0, x = A/2 = 0,15 m, sustituyes en la ecuación anterior y te queda:
0,15 = 0,3 sin φo y sin φo = 0,5, por lo que φo = 30º = π/6 rad. La ecuación es: 

8°
Animación 7. Elaboración propia 
Una partícula describe un m.a.s. de amplitud 5 cm. Cuando se encuentra a 3 cm de la posición de equilibrio su velocidad es de 0,16· m/s. ¿Cuál es el período del movimiento de la partícula?¿Cuál es su velocidad al pasar por la posición de equilibrio?
La ecuación de la velocidad en función de la posición:  te permite calcular la pulsación: 
y el período del movimiento: 
Al pasar por la posición de equilibrio (x=0) la velocidad será: 
El signo dependerá del sentido del movimiento.


CURIOSIDAD
Biela - manivela
Animación 5. UtzOnBike
Creative commons
En ingeniería mecánica se utiliza el mecanismo de biela - manivela que transforma el movimiento alternativo de traslación de un pistón en un movimiento circular (o viceversa).
Si el movimiento circular se realiza con velocidad angular uniforme, el movimiento de vaivén lineal es aproximadamente vibratorio armónico. Ver animación
Este mecanismo se utiliza en los motores de combustión interna (automóviles). En ellos el movimiento lineal del pistón, producido por la expansión de los gases de la combustión de la gasolina, se transmite a la biela y se convierte en movimiento circular en la manivela (cigüeñal).

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